组合数学是一个既古老又年轻的数学分支。说它古老,因为它所研究的问题有的可追溯到很久很久以前。然而,它形成一个新的分支还是zui近若干年的事,是受到电子计算机蓬勃发展影响的结果。　

　　本节中的排列与组合、容斥原理、抽屉原理都是组合数学的内容。　

　　组合数学研究的主要内容是计数和枚举，即计算具有某种特性的对象有多少,并进而把它完全列举出来。“计数”在许多方面有其重大作用,比如本节中的概率部分，就是计数的应用——要计算发生具有某种性质的事件的概率,往往首先要计算出具有该性质的事件的数目。　

　　◎排列与组合

　　加法原理与乘法原理是在计数研究中zui常用也是zui基本的两个法则。　

　　一、加法原理　

　　完成一件事有两类不同方案(其中的方法互不相同)。在第1类方案中有　m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有m+n种不同的方法。　　

　　例如：小华正准备出国留学，不是去A国，就是去B国。其中A国有4所大学向他发出了录取通知，而B国则有5所大学向他发出了入学邀请。故小华共有9所大学可以选择，即共有9种留学方案。　

　　二、乘法原理　

　　完成一件事需要两个步骤(第1步方法的选取不会影响第2步方法的选取)。做第1步有　m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×n种不同的方法。　　

　　例如，从A到B有3条不同的道路,从B到C有2条不同的道路,则从A经B到C的道路数n=3×2=6。

　　三、排列与组合　

　　排列组合的难点主要体现在对排列组合原理的理解与运用上，也即确定是排列还是组合。排列与组合，前者与顺序有关，后者与顺序无关。考生可以通过任选一种安排好的情况，调整其中两个物体的前后顺序，看是否会出现新的情形，若是则与顺序有关，反之则与顺序无关。对基本的排列组合题能够迅速判断是排列还是组合，并写出对应方法数。考生可通过多考虑一些应用环境来锻炼自己判断排列组合的能力。　

　　排列公式：　

　　组合公式：

　　◎容斥原理

　　容斥原理又称包含排斥原理，它是解决组合计数问题的重要工具。　

　　加法原理告诉我们，在集合间没有交集的情况下，求这些集合并集的简单计数公式。容斥原理则告诉我们一般情况下的公式，此时集合间可以重叠而没有限制。　

　　例如，在1到30的正整数中，有多少个整数能被2整除或能被3整除?　

　　由于从1开始每连续2个的第2个数能被2整除，所以1到30中能被2整除的整数共30÷2=15个，它们分别是　

　　2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，24,26,28,30。　

　　同理，由于从1开始每连续3个的第3个数能被3整除，所以1到30中能被3整除的整数共30÷3=10个，它们分别是　

　　3,6,9,12,15,18,21,24,27,30。　

　　又，同时能被2和3整除的整数共30÷(2×3)=5个，分别是　

　　6,12,18,24,30。　

　　所以计数时如果计算15+10=25，则重复计算了5个数。容斥原理可以帮我们巧妙地解决这一问题。　

　　|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|　

　　|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|　

　　其中，两集合容斥原理用简单语言叙述就是：　

　　满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数=满足至少一个条件的个数。　

　　◎抽屉原理

　　抽屉原理是组合数学里zui简单也是zui基本的原理：　n+1个物品放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉，其中有两个或更多的物品。也有人称之为“鸽巢原理”,即“若有n个鸽子巢,n+1只鸽子,则至少有一个鸽子巢里至少有两只鸽子”。　　

　　从这样一个看来是显而易见的原理出发,可以导出许多组合数学中的并不那么显而易见的有趣结论。下面先举几个例子,通过例子说明利用抽屉原理的一般步骤,从不同的例题中总结出规律。　

　　例：　

　　抽屉里有10双手套,从中取11只出来,其中至少有两只是完整配对的。　

　　某次会议有　n位代表参加,每一位代表至少认识其余n-1位中的一位,则n位代表中,至少有两位认识的人数相等。　　

　　公考中，抽屉原理题目表述多为“黑色布袋中有……(具体物品)，至少要取出多少个，才可以保　证……　(满足目标)”。　

解决方案为反向构造。即假设所有物品并非放在布袋中，而是在自己手中，然后逐一发出，在发出的过程中尽可能不要满足题目的目标，直到满足目标为止。那么在尽量不满足题目要求情况下发出的zui多数目就是题目的答案。

    ◎概率

　　概率论是研究随机现象的学科。概率问题是公务员考试zui近几年开始考查的问题，主要有古典概型、几何概型以及条件概率。　

　　一、古典概型　

　　古典概型，又称等可能概型。古典概型的特点：　

　　(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。　

　　(2)每个基本事件出现的可能性相等。　

　　古典概型：　

　　二、几何概型

　　如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称为几何概型。　

　　几何概型的特点：　

　　(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。　

　　(2)每个基本事件出现的可能性相等。　

　　几何概型：　

　　三、条件概率　

　　条件概率是指事件A已发生的条件下事件B发生的概率。　

　　例如，将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件A为“至少有一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”。现求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。